La utilidad de las matemáticas La utilidad de las matemáticas Antonio Vera López Actualmente, ya nadie pone en duda el gran interés que tienen los métodos matemáticos por su aplicación a otros campos del saber, no sólo a nivel científico, sino a niveles populares. Así, acciones cotidianas como sacar un billete de metro en una máquina expendedora o extraer dinero de un cajero automático no serían posibles si no hubiese detrás un soporte matemático que facilitara el diseño y su uso. Nacemos con una mínima estructura aritmética basada en los números enteros con sus propiedades intuitivas de asociatividad, elemento cero y elemento opuesto; de este modo, desde muy pequeños, de alguna manera ya estamos familiarizados con el concepto algebraico abstracto de grupo. Con ingenio y creatividad vamos enriqueciendo nuestra mente originando superestructuras que nos van permitiendo interpretar las leyes de la naturaleza. La imitación de muchas de ellas ha originado grandes avances tecnológicos. La mente humana es capaz de crear conceptos y con ellos desarrollar teorías, unas plenamente justificables ante el inexperto, por su inmediata aplicabilidad, y otras por su aplicación a largo plazo. La estructura de grupo, que como ya hemos dicho aparece en nuestros primeros estudios, se manifiesta también en la naturaleza tanto microscópicamente (en las cristalizaciones de las moléculas) como macroscópicamente (los cristales del plano y del espacio que se clasifican de acuerdo con los 17 grupos planos o los 256 grupos del espacio o de Fedorov). Cuando los árabes construyeron la Alhambra de Granada adornaron sus paredes con figuras ornamentales que incluían a la totalidad de las 17 estructuras de grupos cristalográficos. Actualmente se sabe que son los únicos que hay, y, curiosamente, los árabes en aquellos tiempos estaban muy lejos de la abstracción que conlleva el concepto de grupo, concepto que se formaliza hacia 1830 con los intentos de E. Galois de dar un método de resolución de la ecuacióngenérica de grado n por radicales, esto es, de decir, a priori, para qué ecuaciones podemos obtener una fórmula que nos dé sus raíces en términos de sumas, restas, divisiones y radicales. Las fórmulas que nos dan las raíces ecuaciones de grado 1 y 2, las estudiamos en la enseñanza media, existen fórmulas genéricas para las raíces de las ecuaciones de grados 3 y 4, y para ecuaciones de grado mayor o igual que 5 podemos decidir a priori si existe una fórmula o no (según sea su grupo asociado resoluble o no) y en el caso de que exista, calcularla utilizando la estructura del grupo asociado. Otra de las aplicaciones que presenta el concepto de grupo está en el ámbito de la Economía. Así, la justificación de los 8 test que definen el mejor índice adecuado de precios al consumo (IPC) reside en las propiedades estructurales del grupo diédrico de orden 8. Resulta realmente curioso que todos los test fueran introducidos con significado económico. En 1978, se demuestró que existía un único IPC que satisface estos test. Un campo en el que las Matemáticas están resultando especialmente útiles es la Biología. La enorme complejidad dinámica que caracteriza a los sistemas biológicos ha constituido siempre un freno para los estudios encaminados a expresar las leyes que rigen sus comportamientos de modo similar a como se ha venido haciendo en el estudio de los sistemas físicos y químicos. La herramienta más útil para el estudio de los procesos dinámicos en la naturaleza, y por tanto de los procesos biológicos, es el análisis matemático. Esta es una de las razones por las que, en la actualidad, la aplicación del cálculo en la Biología presenta un notable éxito y reconocimiento. La aparición de ordenadores suficientemente rápidos, así como el desarrollo experimentado en el análisis matemático, la termodinámica de procesos irreversibles, la geometría fractal, el caos determinista y la teoría de sistemas complejos, entre otros, ha permitido dotar a la Biología de instrumentos investigadoresfísico matemáticos poderosos que están permitiendo modelar y describir de una manera coherente y eficaz muchos procesos biológicos que hasta ahora eran sencillamente inabordables desde una metodología investigadora estrictamente tradicional. Desde hace un par de décadas un gran número de investigadores han constatado, desde la perspectiva biológico matemática, la presencia de numerosas estructuras de geometría fractal en los sistemas vivientes, fundamentalmente el humano. De hecho, las investigaciones biológico matemáticas han permitido encontrar estructuras fractales en las redes nerviosas, conductos pulmonares, en el sistema HisóPurkinge de conducción de los impulsos eléctricos cardiacos, tracto digestivo del intestino delgado, secreción hormonal, redes de vasos sanguíneos, conductos biliares, tejido conjuntivo, musculatura lisa, arterias y venas coronarias, recuento de células sanguíneas, etc. De entre todas estas estructuras, se puede destacar el sistema cardiaco, el cual constituye un buen ejemplo de las investigaciones sobre la fractalidad y el caos en el sistema humano. En la actualidad, los estudios de los procesos dinámicos biológicos mediante técnicas físico matemáticas están muy extendidos y abarcan a todas las áreas de la Biología. Desde esta perspectiva, líneas de investigación prometedoras se realizan en campos tan diversos como la respuesta inmune, las interacciones genéticas en el desarrollo temprano, los ritmos circadianos, la regulación metabólica, la quimiotaxis, las pautas epidémicas, la evolución prebiótica, las estructuras biomoleculares, las dinámicas de poblaciones y ecosistemas, las redes catalíticas, la diferenciación celular y la morfogénesis, la autorregulación genética, los ritmos fisiológicos, la actividad cerebral, las correlaciones existentes en las bases nucleotídicas del ADN, etc. Pero no sólo en la Biología las matemáticas resultan útiles. A modo de ejemplo, citamos unas cuantas aplicaciones que nos encontramos en la vida cotidianade las matemáticas: 1) Si un contable desea recuperar la información perdida en una factura por culpa de un descuido de una taza de café, las ecuaciones diofánticas le serán de ayuda. 2) ¿Cuál es el recorrido que debe hacer el camión de la basura de un pueblo para que los costes sean mínimos al ayuntamiento y además, pase por cada una de las esquinas del pueblo? La teoría de grafos será útil en la resolución del problema. 3) Para un agricultor ¿cuál es la disposición que debe usarse para el estudio de la fertilidad del terreno respecto del ensayo con unos abonos? Los cuadrados latinos ortogonales le aportarán la solución. 4) Para un bioquímico, ¿cómo diseñar balanzas químicas de precisión de una y dos cazuelas que haga pesadas con precisión 10n con n suficientemente grande? Las matrices de Hadamard son el soporte matemático que necesita. 5) Para una peña quinielista, ¿cuál es el número mínimo de columnas que hay que hacer para acertar 3 partidos de 4?, ¿o 12 partidos de 13? ¿Cúales son explícitamente las columnas a realizar? ¿Cuáles son las apuestas que hay que hacer para acertar 3 números de la bonoloto? 6) En economía, el calcular lo que uno va a ganar en el momento de jubilarse ó la tasa de interés de un pago ó los cuadros de amortización de un préstamo es tarea sencilla empleando las matemáticas. 7) La teoría de códigos y la criptología son herramientas imprescindibles en esta sociedad que necesita transmitir información de forma segura. Sin ellas, no sería posible transmitir, por ejemplo, imágenes desde los satélites. 8) En medicina, se puede aplicar la propiedad reflexiva de las cónicas para el tratamiento de cálculos renales. Por otro lado, modelos matemáticos ayudan a estudiar las redes neuronales, facilitando la comprensión de los mecanismos cerebrales del aprendizaje. 9) Empleando los grupos cristalográficos, podemos generar figuras ornamentales distintas a partir de un mismo motivo ornamental. Por ejemplo, usando un mismo motivo ornamental podemos crear unacolección de . En general, hoy día se buscan uniformidades dentro de teorías donde abunda el caos. Para clasificar dicho caos y saber cómo funciona, la búsqueda se hace incluso local, haciendo uso de la infraestructura de que se dispone en cuanto a medios computacionales y lenguajes de programación. La modelización matemática y la simulación por ordenador permiten, en general, hacernos una idea aceptable de los comportamientos dinámicos que subyacen en los procesos investigados. Todo un mundo por descubrir. Nota: En el libro Utilidades de las Matemáticas de A. Vera López y otros (Próxima aparición) se pueden encontrar muchas más aplicaciones de las matemáticas explicadas con todo detalle. Antonio Vera López, Catedrático de Algebra de la UPV/EHU Euskonews & Media 151.zbk (2002/1/18 25) Eusko Ikaskuntzaren Web Orria
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